Mathe Lernseite

Funktionen intensiv und verständlich erklärt

Hier lernst du die wichtigsten Funktionsthemen: lineare und quadratische Funktionen, Steigung, Achsenabschnitt, Nullstellen und funktionale Zuordnungen.

1. Grundidee Funktion

Funktion: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet.
f(x): Funktionswert an der Stelle x.
Graph: Sichtbare Darstellung aller (x|y)-Paare.

Merke: Ein x darf in einer Funktion nie zwei verschiedene y-Werte haben.

Arbeitsroutine

1. Gegebenes markieren

Term, Punkte, Tabelle

2. Gesuchtes klären

y-Wert, m, b, Nullstelle, Scheitel

3. Formel einsetzen

sauber mit Vorzeichen

4. Plausibilitätscheck

Steigt/fällt der Graph?

2. Lineare Funktionen

Allgemeine Form

f(x) = m·x + b

Steigung

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

y-Achsenabschnitt

b = f(0)

Nullstelle

x₀ = -b / m (für m ≠ 0)

Steigend

m > 0

Fallend

m < 0

3. Quadratische Funktionen

Normalform: f(x) = ax² + bx + c

Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)² + e

Scheitelpunkt: S(d|e) in der Scheitelpunktform

Öffnung: a > 0 nach oben, a < 0 nach unten

Nullstellen: Schnittpunkte mit x-Achse

Symmetrieachse: x = d (bei Scheitelpunktform)

4. Zuordnungen und Modelle

Proportional

y = kx

Antiproportional

y = a / x

Aus Punkt (x|y)

k = y / x

Skalierung

x verdoppelt ⇒ y bei y=kx auch verdoppelt

Wichtig: Bei antiproportionalen Funktionen sinkt y, wenn x steigt.

5. Intensiv-Beispiele

Beispiel A: Funktionswert linear

f(x)=3x-5, gesucht f(4)

f(4)=3·4-5=7

Ergebnis: 7

Beispiel B: Steigung aus zwei Punkten

P1(2|5), P2(6|13)

m=(13-5)/(6-2)=8/4=2

Ergebnis: 2

Beispiel C: Nullstelle linear

f(x)=4x-12

0=4x-12 ⇒ x=3

Ergebnis: 3

Beispiel D: Scheitelpunkt

f(x)=2(x-3)²+1

S(3|1)

Ergebnis: x_S=3, y_S=1

Beispiel E: Proportionale Zuordnung

Punkt (5|20), also y=kx

k=20/5=4, also y=4x

Ergebnis: k=4

6. Prüfungsstrategie

Vorzeichen immer mitnehmen, besonders bei -b und Klammern.
Für Steigung zwei Punkte konsequent als Bruch einsetzen.
Bei Nullstellen zuerst f(x)=0 setzen.
Bei Scheitelpunktform direkt d und e ablesen.
Zum Schluss Ergebnis in die Funktion einsetzen und gegenprüfen.

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